UNIDAD Nº 1 .RELACIONES

CONCEPTOS FUNDAMENTALES:Definición. Propiedades

 Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
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Relaciones y funciones:

En los números naturales, podemos hablar de la relación ser menor o igual que,  por ejemplo, Bajo esta relación, el 2 se

 relaciona con el 3 pero no al contrario, y el 0 se relaciona con todos los elementos. 

 

 

 

 

Producto Cartesiano:

 

Un par ordenada consta de dos elementos $ a$ y $ b$, donde nos interesa el orden en que aparecen los objetos. Llamemos $ (a,b) $ a esta pareja. Por ejemplo,$ (4, 6) \not= (6, 4)$, pero $ \{4, 6\} = \{6, 4\}$. En esencia nos gustaría que todo par ordenado $ (a,b) $ cumpliera la siguiente propiedad:

 

$ (a, b) = (a', b')$ si y sólo si [$ a = a'$ y $ b = b'$] 
lo que quiere decir que dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en el mismo orden.

 

 
Propiedad del par ordenado   $ (a, b) = (a', b')$ si y sólo si [$ a = a'$ y $ b = b'$]

 

 

Dados dos conjuntos $ A$ y $ B$ podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas $ (a,b) $, donde la primera coordenada ($ a$) viene de $ A$, y la segunda coordenada ($ b$) viene de $ B$. A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de $ A$ y $ B$ y lo notamos así:$ A \times B$. Formalmente:

 

 

Producto cartesiano   $ A \times B : = \{ (x, y) : x \in A, y \in B\}$.

Notación: $ A^2 : = A \times A = \{(x, y): x \in A, y \in A\}$.

 

Algunas propiedades del producto cartesiano :
  • $ A \times \varnothing = \varnothing \times B = \varnothing$.
  •  
  • Para $ A, B$ conjuntos no vacíos, $ A = B$ si y sólo si $ A \times B = B \times A$.
  •  
  • Para $ A, B$ conjuntos no vacíos, $ A \times B = A' \times B'$ si y sólo si $ (A, B) = (A', B')$
  •  
  • $ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.
  •  
  • $ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$.

 

 

TIPOS DE RELACIONES:

    En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:
Relación Unaria: un solo conjunto  R \subseteq A , \; R(a)
 Relación Binaria :con dos conjuntos  R \subseteq A_1 \times A_2 , \; R(a_1,a_2)
Relaciones ternarias : con tres conjuntos  R \subseteq A_1 \times A_2 \times A_3 , \; R(a_1,a_2,a_3)
Relaciones cuaternarias: con cuatro conjuntos  R \subseteq A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4 , \; R(a_1,a_2,a_3,a_4)

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:

 

    Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

 

 

 

 

 

 

 

Esta pagina fue creada con la finalidad de  elaboracion de trabajos y aplicacion de nuestros conocimientos sobre la Teoría de grafos